المتتابعة الحسابية  والمتتابعة الهندسية

المتتابعة هي : دالة د مجالها مجموعة جزئية من ط ومداها مجموعة جزئية من ح .

وتسمى : د(ن)=أن بالحد النوني للمتتابعة  ، ن تنتمي لـ ط ، وعناصرها تسمى حدود المتتابعة .

وهناك متتابعات منتهية   : د {1، 2،3، ...،م} ← ح . ومتتابعات غير منتهية : د : ط ← ح .

المتتابعة الحسابية 

نقول أن {حن } متتابعة حسابية إذا وجد عدد ثابت د بحيث د = حن +1  -  حن  ، لجميع قيم ن  وتسمى د أساس المتتابعة .

ملاحظات :

1- الحد النوني للمتتابعة الحسابية هو : حن  = أ + (ن - 1) د ، أ هو الحد الأول ، د هو الأساس .

2- الأوساط الحسابية بين العددين أ ، ب هي حدود المتتابعة التي حدها الأول أ وحدها الأخير ب .

أمثلة :

مثال(1) : هل المتتابعة : {حن } ={15،11،7،3،.....} حسابية أم لا ولماذا ؟ .

جواب(1) : المتتابعة حسابية لأن  حن +1  -  حن  = 4 ، لجميع قيم ن .

مثال(2) : أوجد الحد الثالث عشر (ح13) للمتتابعة الحسابية : {1،-3،-7،-11،....} .

جواب(2) : أساس المتتابعة (د) = -3-1 = -4 ، الحد الأول (أ) =1  ، إذن :

ح13 = 1 + (13 - 1) × -4 = 1 + (- 48) = - 47 .

مثال(3) : إدخل خمسة أوساط حسابية بين العددين -13 ، 245 ؟ .

جواب(3) : أ = -13 ، حن  = 245 ، ن = 7 ، د = ؟ 

نوجد أساس المتتابعة (د)  من القانون كمايلي :

حن  = أ + (ن - 1)د

245 = -13 + (7 - 1) × د  ، إذن د = 43  ، إذن الأوساط هي : 30 ، 73 ، 116 ، 159 ، 202 .

تمرين:

أوجد عدد الحدود المحصورة بين 13 ، 100 والتي تقبل القسمة على 6 ؟   ( ن = 14 حدا ) .

إرشاد : الحد الأخير = 96  .

المتتابعة الهندسية

عزيزي الطالب لاحظ المتتابعات التالية واكتشف القاعدة :

{16،8،4،2،1،.....} ، {5،5،5،.....} ، {27،-3،9،-1،....}

نلاحظ في كل المتتابعات السابقة أن كل حد قسمة سابقه يساوي مقدار ثابت  ، وهذا النوع من المتتابعات نسميه بالمتتابعات الهندسية .

المتتابعة الهندسية:

نقول أن  {حن } متتابعة هندسية إذا وجد عدد ثابت ر بحيث ر = حن +1 ÷  حن  ، لجميع قيم ن وتسمى ر أساس المتابعة .

ملاحظات :

1-الحد النوني للمتتابعة الهندسية هو :  حن  = أ ر^{ن - 1}  ، حيث أ هو الحد الأول ، ر هو أساس المتتابعة .

2- الأوساط الهندسية بين العددين أ ، ب هي حدود المتتابعة التي حدها الأول أ وحدها الأخير ب .

3- إذا كانت الأعداد أ ، ب ، جـ في تتابع هندسي فإن ب يسمى الوسط الهندسي   حيث :

أ/ب = ب/جـ  ← ب = زائد أو ناقص الجذر التربيعي لـ أ×جـ .

أمثلة :

مثال(1) : قرر فيما إذا كانت المتتابعة التالية هندسية أم لا : 3 ، 6 ، 12 ،..... ؟

جواب(1) : المتتابعة هندسية لأن حن +1 ÷  حن  = 2 ، لجميع قيم ن .

مثال(2) : أوجد الحد العاشر في المتتابعة : 2/1،-2،1،.... ؟

جواب(2) : المتتابعة هندسية ، أ = 2/1   ،  ر = -1 ÷ 2/1 = -2 ، إذن :

^ح10  = 2/1 × -⁹2  = 2/1 × ( -512) = 256

مثال(3) : أوجد الوسط الهندسي للعددين 16 ، 9 ؟ .

جواب(3) : الوسط الهندسي للعددين = زائد أو ناقص جذر 144 = زائد أو ناقص 12 .

مثال(4) : إدخل أربعة أوساط هندسية بين العددين 486 ، 2 ؟

جواب(4) : أ= 486  ، ^ح6  = 2  ، ن = 6  ، بقي أن نوجد الأساس ر كما يلي :

^حن  = أ ر^{ن - 1}

2 =486 × ر^{6 - 1}       ←    ر⁵  = 486/2    ←   ر⁵  = 243/1     ، لاحظ أن 243 = ⁵3

ر⁵  = (3/1)⁵   ←  ر = 3/1

468 × 3/1 = 162    ،   162 × 3/1 =54  ، وهكذا .

إذن الأوساط الهندسية الأربعة هي : 162 ، 54 ، 18 ، 6 .                      (تذكر أن ر = حن +1 ÷  حن ) .

ملاحظة : إذا كان عدد الأوساط المطلوبة فردي ، كأن يقول إدخل خمسة أوساط... ، فإن الأساس ر الذي توصلت إليه يكون زائد أو ناقص  ، بمعنى أن يكون خمسة أوساط موجبة وأخرى سالبة .

أعلم أنك تريد مثال ، لذا سأذكر المثال التالي :

*** إدخل خمسة أوساط هندسية بين العددين 81 ، 9/1  ؟

جــ : أ= 81  ، ^ح7  = 9/1  ، ن = 7  ،

^حن  = أ ر^{ن - 1}

9/1 =81 × ر^{7 - 1}       ←    ر⁶  = 9/1 ÷ 81    ←   ر⁶  = 729/1     ، لاحظ أن 729 = ⁶3

ر⁶  = (3/1)⁶   ←  ر =+ - 3/1

عندما ر= + 3/1 فإن الأوساط هي : 27 ، 9 ، 3 ، 1 ، 3/1

عندما ر= - 3/1 فإن الأوساط هي : -27 ، 9 ، -3 ، 1 ، -3/1

تمرين :

1- إدخل وسطين هندسيين بين العددين 9 ، -243 ؟           ( الحل : -27 ، 81) .

2- أوجد المتتابعة الهندسية التي يزيد حدها الثالث عن الثاني بمقدار 6 ، ويزيد الحد الرابع عن الثالث بمقدار 4   ؟ .                  ( -27  ، -18 ، -12 ، -8 ، ......) .

الصفحة الرئيسية