الدالة المحدودة

الدالة المحدودة

 

عزيزي الطالب ، نظرا لأهمية الموضوع رياضيا فقد إخترته ليكون من ضمن المواضيع ، وترجع أهميته في كثير من التطبيقات الرياضية (المهارية) وخاصة في باب التكامل .

وقبل أن نبدأ بطرح التمارين ، نورد التعاريف التالية :

1- إذا كانت د(س) ل  ، لكل س تنتمي لفترة ف من مجموعة الاعداد الحقيقية ح ، فإننا نسمي ل حدا علويا للدالة د .

ويسمى ل أصغر حدا علويا للدالة إذا حقق الشرطين التاليين :

  * ل حد علوي   ** ل أصغر الحدود العليا .

2- إذا كانت د(س) م  ، لكل س تنتمي لفترة ف من مجموعة الاعداد الحقيقية ح ، فإننا نسمي م حدا  سفليا للدالة د .

ويسمى م أكبر حدا سفليا للدالة إذا حقق الشرطين التاليين :

* م حدا سفليا ، ** م أكبر الحدود السفلى .

3- إذا كانت د(س) = ل ، حيث ل أصغر حد علوي  سمي ل قيمة عظمى للدالة د .

4- أذا كانت د(س) = م ، حيث م أكبر حد سفلي سمي م قيمة صغرى للدالة د .

ملاحظات : -1 جاس 1      |جتاس| 1 .

              -1 جتاس 1      |جتاس| 1 .

 

أمثلة

أولا : الدوال المحدودة على فترة :

مثال: أثبت أن الدالة د(س) = 5 - 2س محدودة في الفترة ]-5 ، -3] ، ثم أوجد أكبر حد سفلي وأصغر حد علوي والقيمة الصغرى والعظمى للدالة (إن وجدت) .

الحل :

س تنتمي ]-5 ، -3]   ↔  -5 < س -3  .

10> -2س 6                    ،  ضربنا × -2 .

11 5 - 2س < 15              ، أضفنا 5 .

إذن الدالة محدودة في الفترة المعطاة ، وأكبر حد سفلي لها = 11 .

وأصغر حد علوي = 15 .

 تمرين : طبق على الدالة د(س) = س2 - 4س + 3       ، ف = [1 ، 2] .  { ارشاد : د(س) = (س - 2)2 - 1 }

ثانيا : الدوال المحدودة التي تحوي (جا ، جتا ، جذر) :

مثال :  أثبت أن الدالة : د(س) = 2 + س / 6 . جتا س محدودة ، وأوجد أكبر حد سفلي وأصغر حد علوي لها ، س > 0 ؟ .

الحل :  | د(س)| =| 2+س / 6 . جتاس| = | 2 + س / 6| . | جتاس| | 2 + س / 6| × 1  (لأن |جتاس| 1)

| 2+س / 6 . جتاس|   | 2 + س / 6| =   2 + س / 6 < 3 .

|د(س)| < 3  -3 < د(س) < 3  الدالة محدودة في الفترة ]0 ، [  .

أكبر حد سفلي لها هو -3  ، وأصغر حد علوي لها هو 3 .

ثالثا : الدوال المحدودة الكسرية :

لاحظ الطريقة التالية وطبق عليها :

* إذا كان البسط ثابت  فإن 0 < الثابت في المقام المقام .

** إذا كان البسط متغير فإن 0 المتغير في المقام < المقام .

مثال(1) : برهن أن الدالة : د(س) = س2 + 5 / س2 محدودة في ح .

الحل : 0 س2 < س2 + 5 .

0 س2 + 5 / س2 < 1      ،     قسمنا على  س2 + 5

إذن  0 د(س) < 1  ،   الدالة محدودة في ح .

أصغر حد علوي لها هو 1 ، وأكبر حد سفلي لها هو 0 وهو قيمة صغرى للدالة .

مثال(2) : أثبت أن الدالة : د(س) = س2 + 2 / 3  محدودة في ح ؟ .

الحل : 0 < 2 س2 + 2  .

 0 <  س2 + 2 / 3 1              ،   قسمنا على س2 + 2 .

بالضرب × 3 نحصل على : 0 < س2 + 2 / 3 2/3  .

أي أن :  0 < د(س) 2/3  ، إذن الدالة محدودة في ح .

أكبر حد سفلي هو 0 ، وأصغر حد علوي هو 2/3 وهو قيمة عظمى .

 

الصفحة الرئيسية